مبرهنتا الباقي والعامل

ملخص الدرس

أولاً – مبرهنة الباقي كما سبق أن عرفت أنّ عملية القسمة قد يكون لها باقٍ، وفي هذا البند سندرس مبرهنتين الأولى تتعلق بالباقي والأخرى تتعلق بعوامل الحدودية. لتكن حـ₁ = س² − ٥س + ٩ ، حـ₂ = س − ٣ فإن عملية قسمة حـ₁ على حـ₂ تكون: حـ₁/حـ₂ = حـ₃ + حـ₄/حـ₂ أي أن: حـ₁ = حـ₂ • حـ₃ + حـ₄. ∴ (س² − ٥س + ٩)/(س − ٣) = (س − ٢) + ٣/(س − ٣) ⇒ س² − ٥س + ٩ = (س − ٣)(س − ٢) + ٣. ونستطيع إجراء عملية القسمة هذه بطريقة أخرى وهي الطريقة التركيبية: ١) اكتب المعاملات بعد ترتيب حدودها تنازلياً حسب قوى س. ٢) اكتب ٣ على اليسار (صفر المقسوم عليه (س − ٣)). ٣) أنزل أول معامل في حـ₁ وهو ١. ٤) اضرب ١ × ٣ وأكتب الناتج أسفل المعامل الثاني. ٥) اجمع لتحصل على −٢. ٦) اضرب −٢ × ٣ واكتب الناتج −٦ أسفل المعامل الثالث. ٧) اجمع لتحصل على ٣. فيكون خارج القسمة حـ₃ = (س − ٢) وباقي القسمة حـ₄ = ٣. وإذا حسبنا حـ₁ عندما س = ٣ نجد أن حـ₁(٣) = (٣)² − ٥ × ٣ + ٩ = ٣، وهذا يعني أن باقي القسمة حـ₄ = حـ₁(٣)، حيث حـ₁(٣) هو رمز للقيمة العددية حـ₁ عند ما س = ٣. أي أن باقي قسمة حـ₁ على حـ₂ يساوي حـ₄ = ٣. وكذلك إذا قسمنا الحدودية حـ₁ = (٣س³ − ٥س + ١) على حـ₂ = (س − ٢) يكون خارج القسمة حـ₃ = (٣س² + ٦س + ٧)، وباقي القسمة حـ₄ = ١٥، وعند حساب القيمة العددية للحدودية حـ₁ عندما س = ٢ نحصل على حـ₁(٢) = ٣(٢)³ − ٥(٢) + ١ = ٢٤ − ١٠ + ١ = ١٥. تلاحظ أن الط