التكافؤ المنطقي للقضايا

ملخص الدرس

التكافؤ المنطقي تأمل جدول الصواب (١–١٠): بمقارنة قيم صواب القضيتين أ، ~(~أ) [العمودان الأول والثالث] نجد أن للقضيتين قيم الصواب نفسها. أي أنه عندما تكون أ صائبة تكون ~(~أ) صائبة، وعندما تكون أ خاطئة تكون ~(~أ) خاطئة. لذلك نقول أن القضيتين أ، ~(~أ) متكافئتان منطقياً ونكتب ~(~أ) ≡ أ. تعريف (١ : ٢): يقال عن قضيتين م، د أنهما متكافئتان منطقياً إذا كان لهما قيم الصواب نفسها. ونرمز لذلك بالرمز م ≡ د «وتقرأ م تكافئ د». ملاحظة: تسمى العلاقة أ ∧ ب ≡ ب ∧ أ خاصية الإبدال للرابط (∧)، وتسمى العلاقة أ ∨ ب ≡ ب ∨ أ خاصية الإبدال للرابط (∨). 📌 تعريف (١ : ٢): م ≡ د إذا كان للقضيتين م، د قيم الصواب نفسها. 📌 مبرهنة (١ : ١) (قانونا دي مورجان): ~(أ ∧ ب) ≡ ~أ ∨ ~ب ، ~(أ ∨ ب) ≡ ~أ ∧ ~ب 📌 مبرهنة (١ : ٢): أ → ب ≡ ~أ ∨ ب ≡ ~ب → ~أ ، ~(أ → ب) ≡ أ ∧ ~ب 📌 تعريف (١ : ٣): القضية الصائبة منطقياً (تحصيل حاصل) والقضية الخاطئة منطقياً (تناقض). قانونا دي مورجان مبرهنة (١ : ١): لأي قضيتين أ، ب: ١) ~(أ ∧ ب) ≡ ~أ ∨ ~ب. ٢) ~(أ ∨ ب) ≡ ~أ ∧ ~ب. البرهان: ننشئ جدول الصواب (١–١٢) فنلاحظ أن للقضيتين ~(أ ∧ ب)، ~أ ∨ ~ب قيم الصواب نفسها، وعليه فهما متكافئتان. وتعرف المبرهنة (١–١) بقانوني دي مورجان. تكافؤات القضية الشرطية مبرهنة (١ : ٢): لأي قضيتين أ، ب: ١) أ → ب ≡ ~أ ∨ ب ≡ ~ب → ~أ. ٢) ~(أ → ب) ≡ أ ∧ ~ب. البرهان: ١) من الجدول (