الزمرة

ملخص الدرس

الزمرة تعريف (٥ : ٧): يسمى النظام الرياضي (سه، *) زمرة إذ تحققت فيه الشروط التالية: ١– العملية * تجميعية. ٢– يوجد عنصر محايد. ٣– يوجد لكل عنصر س ∈ سه نظير س̄ ∈ سه، وإذا كانت * عملية إبدالية «يسمى النظام زمرة إبدالية». لاحظ أن: أ) الأنظمة (ص، +)، (ح*، ×)، (ن، +) يمثل كلٌّ منها زمرة إبدالية. ب) النظام (ط، +) لا يمثل زمرة لأن الشرط الثالث لم يتوفر أي لا يوجد لكل عنصر من ط نظير جمعي عدا العنصر المحايد. 📌 تعريف (٥ : ٧): (سه، *) زمرة ⇔ * تجميعية + يوجد عنصر محايد + لكل عنصر نظير. 📌 مبرهنة (٥ : ١): في الزمرة العنصر المحايد وحيد، ولكل عنصر نظير وحيد. 📌 مبرهنة (٥ : ٢) (قانونا الحذف): أ * ب = أ * جـ ⇒ ب = جـ ، ب * أ = جـ * أ ⇒ ب = جـ. 📌 مبرهنة (٥ : ٣): للمعادلة ب * س = جـ حل وحيد س = ب̄ * جـ ، وللمعادلة س * ب = جـ حل وحيد س = جـ * ب̄. 📌 تعريف (٥ : ٨): العناصر المنتظمة. مبرهنات على الزمرة مبرهنة (٥ : ١): إذا كان (سه، *) زمرة فإن: ١– يوجد عنصر محايد وحيد. ٢– لكل عنصر من سه نظير وحيد. البرهان: ١) نفرض أن للزمرة (سه، *) عنصرين محايدين و₁، و₂. ∵ و₁ عنصر محايد ∴ و₁ * و₂ = و₂ * و₁ = و₂ … (١). ∵ و₂ عنصر محايد ∴ و₂ * و₁ = و₁ * و₂ = و₁ … (٢). من (١)، (٢) نجد أن: و₁ = و₂ ∴ العنصر المحايد وحيد. ٢) نفرض أن للعنصر س نظيرين س̄، س̿ فيكون: (س̄ * س) * س̿ = و * س̿ = س̿ ، س̄ * (س * س̿) = س̄ * و = س̄. من خا