خواص العملية الثنائية

ملخص الدرس

١) خاصية الإبدال تعريف (٥ : ٢): العملية الثنائية ∘ على مجموعة سه تكون تبديلية إذا كان أ ∘ ب = ب ∘ أ ∀ أ، ب ∈ سه. ملاحظة: في الأنظمة الرياضية التي تمثل عملياتها بجدول؛ لكي تكون العملية تبديلية يكفي أن تكون العناصر المتناظرة بالنسبة لعناصر القطر الرئيسي متطابقة. القطر الرئيسي: هو القطر الهابط من زاوية الجدول التي تلي خانة رمز العملية إلى الزاوية المقابلة أسفل الجدول (الجدول ٥–٧). 📌 تعريف (٥ : ٢): الإبدال أ ∘ ب = ب ∘ أ 📌 تعريف (٥ : ٣): التجميع أ ∘ (ب ∘ جـ) = (أ ∘ ب) ∘ جـ 📌 تعريف (٥ : ٤): العنصر المحايد و ∘ س = س ∘ و = س 📌 تعريف (٥ : ٥): النظير س ∘ س̄ = س̄ ∘ س = و ٢) خاصية التجميع «الدمج» تعريف (٥ : ٣): العملية الثنائية ∘ على مجموعة سه غير خالية تكون تجميعية إذا كان أ ∘ (ب ∘ جـ) = (أ ∘ ب) ∘ جـ ∀ أ، ب، جـ ∈ سه. ٣) العنصر المحايد تعريف (٥ : ٤): إذا كانت العملية ∘ ثنائية على مجموعة سه غير خالية وأمكن إيجاد عنصر و ∈ سه بحيث يكون: و ∘ س = س ∘ و = س ∀ س ∈ سه فإن: و عنصراً محايداً للعملية ∘. مما سبق نجد أن: العنصر المحايد هو العنصر الناتج من تقاطع صف يطابق الصف الرئيسي في الجدول مع عمود يطابق العمود الرئيسي. ٤) نظير «أو معكوس» العنصر تعريف (٥ : ٥): إذا كانت العملية ∘ ثنائية على مجموعة غير خالية سه، لها عنصر محايد «و»، وكان ∀ س ∈ سه يوجد س̄ ∈ سه بحيث يكون: س ∘ س̄ = س̄ ∘ س = و نسمي س̄ نظير